材料力學行為的精確建模是預測復雜工況下結構響應的基石。傳統方法依賴于求解優化問題來校準預設模型的參數，這一過程往往面臨非凸目標函數、局部最優解、計算耗時以及物理可解釋性不足等挑戰。近年來興起的機器學習方法雖能靈活逼近復雜響應，但其黑箱特性又削弱了模型的可解釋性。為此，由德國埃爾朗根-紐倫堡大學應用力學研究所和美國斯坦福大學機械工程系的研究人員Moritz Flaschel、Denisa Martonová、Carina Veil和Ellen Kuhl共同提出了一種名為“材料指紋”（Material Fingerprinting）的創新方法，旨在為力學材料模型的快速發現提供一條無需解決優化問題的捷徑。

該方法的核心思想源于一個基本假設：在標準化的實驗設置下，每種材料都會產生一個獨特的力學響應，該響應可被視為材料的“指紋”，即編碼其所有相關力學特性的唯一標識符。基于此，材料指紋法采用兩階段工作流程：離線階段，通過數值模擬為大量不同的材料模型及參數組合生成標準實驗下的指紋，并構建一個包含指紋及其對應模型信息的數據庫；在線階段，對未知材料進行相同的標準化實驗并測量其指紋，隨后利用高效的模式識別算法在數據庫中搜索最匹配的指紋，從而快速確定最能描述該材料行為的模型及其參數。這一策略徹底規避了傳統優化問題，其模式識別步驟本質上是在數據庫定義的離散空間中尋找全局最優解，計算高效且易于并行化。研究團隊強調，此方法不僅能夠校準參數，更能從預定義的模型集合中同時發現最優的函數形式及其參數，實現了從模型校準到模型發現的跨越。

為了驗證該框架的普適性，研究團隊在超彈性材料的背景下，從兩個維度展示了材料指紋法的應用：基于均勻變形場的監督方法和基于非均勻變形場的非監督方法。在監督方法中，實驗設計為單軸拉伸和簡單剪切，這些測試產生直接的應力-應變數據對，材料的指紋被定義為在不同預設拉伸和剪切值下測量到的應力響應向量。研究構建了一個包含Blatz-Ko、Demiray、Gent、Holzapfel、Mooney-Rivlin、Neo-Hooke和Ogden等經典超彈性模型的數據庫，并利用指紋向量對均勻參數的齊次性進行歸一化處理，這顯著提高了數據庫的覆蓋效率。在線識別時，通過計算測量指紋與數據庫中所有歸一化指紋的余弦相似度，選擇相似度最高的條目作為發現結果，并通過測量指紋的范數恢復均勻參數的實際大小。

在非監督方法中，實驗采用更復雜的帶孔板雙軸拉伸試件，以激發材料內部的異質變形場。此類實驗不提供直接的應力-應變對，但能通過數字圖像相關等技術測量試件表面的位移場，并結合邊界上的凈反力測量。材料的指紋因此被定義為由反力測量值和選定測點位移測量值拼接而成的向量。同樣地，研究構建了包含可壓縮版本超彈性模型的數據庫，并對反力部分進行歸一化以利用齊次性。模式識別算法通過同時匹配歸一化的反力和位移指紋，從單一實驗中實現材料模型的發現。

通過對數值生成的數據進行基準測試，研究結果證實了材料指紋法在不同噪聲水平下的有效性與魯棒性。在無噪聲情況下，無論是監督還是非監督設置，該方法均能精確地發現真實的材料模型，誤差接近于機器精度。當引入1%和5%的高斯噪聲后，發現的模型參數雖出現預期內的偏差，但應變能密度函數的整體誤差仍然很小，且基于實驗數據的決定系數R2在絕大多數情況下均高于0.98，表明發現的模型對噪聲數據保持了極高的擬合優度。例如，在監督設置下，對于5%噪聲的Neo-Hooke模型數據，方法發現了一個指數參數為1.80的Ogden模型作為替代，兩者在實驗變形范圍內響應高度吻合。在非監督設置下，對于5%噪聲的Demiray模型數據，發現模型預測的位移場與反力與真實模型也呈現出良好的一致性。這些結果凸顯了方法通過數據庫匹配規避非凸優化困境的優勢，以及利用指紋歸一化與參數重縮放技術處理參數大小范圍外推的靈活性。

綜上所述，材料指紋法為快速、可靠的力學材料模型發現提供了一個強大且通用的框架。它通過將復雜的本構建模問題轉化為高效的數據庫搜索問題，同步實現了模型函數形式與參數的識別，并保證了所得模型的物理可容許性。盡管該研究聚焦于超彈性材料，但其框架設計具有高度的可擴展性，可推廣至粘彈性、塑性等多種材料行為，并適用于任何標準化的實驗設計。未來工作方向包括構建更全面、高保真的協作數據庫，探索數據壓縮與加速搜索技術，以及引入稀疏性促進以提升模型可解釋性，最終通過實驗數據進行驗證。這項研究為材料表征領域開辟了一條繞過優化瓶頸的新途徑，預示著向即時、自動化材料模型發現邁進的潛力。

 

參考文獻

Flaschel M, Martonová D, Veil C, et al. Material Fingerprinting: A shortcut to material model discovery without solving optimization problems[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2026, 450: 118573.